Buscando la manera de que mi página web me avisara si recibía la visita de Googlebot encontré este pequeño script que, de momento, me ha funcionado bien.

[ftf def="php.xml" h="185"] //Aviso googlebot
if(strpos($_SERVER['HTTP_USER_AGENT'], 'Googlebot') !== false){
// Tu dirección de correo
$email = 'nombre@dominio.com';
// Enviate el email
mail($email,'Alerta de Googlebot dominio.com','Googlebot ha visitado tu pagina: dominio.com'.$_SERVER['REQUEST_URI']);
}
?>
[/ftf]